سلام  امروز از اعداد صحیح اپیدم

امید وارم خوشتون بیاد 

اگه نظر ندین دوباره اپ نمی کنم

الف: مجموعه عددهای صحیح

عدد صحیح:(integer)

صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را یک عدد صحیح       می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی «عدد صحیح» گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:

{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =

 

نمایش مجموعه عددهای صحیح:

برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی اوقات لازم است به جای نوشتن اعضای یک مجموعه ، خاصیت اعضاء آن را بیان کنیم. به عنوان مثال فرض کنید معاون پرورشی یک مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه می گوید:

دانش آموزانی که در نوبت اول معدل آن ها بیشتر از 18 باشد ، به اردوی علمی ، تفریحی در شهر اصفهان خواهند رفت. در این جا اعضای مجموعه فعلا مشخص نیستند ، بلکه ویژگی و خاصیت اعضای مجموعه که معدل بالای 18 می باشد در آینده ای نزدیک اعضای مجموعه رامشخص خواهد کرد.

اکنون مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- را در نظر بگیرید و به معرفی این مجموعه در حالتهای مختلف توجه کنید:

الف) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- روی محور اعداد صحیح:

ب) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- به زبان ریاضی:

ج) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- با نوشتن اعضای آن مجموعه:

{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A

مثال: مجموعه های زیر با علائم ریاضی بیان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص کنید:

الف):

 

حل:  مجموعه A بیان می کند : « x بطوریکه x به اعداد صحیح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد یک است.» . پس از خواندن این جمله باید اعدادی را که واجد این خاصیت هستند، پیدا کنیم. بدیهی است که عددهای صحیح 1+ و 1- این خاصیت را دارند بنابراین :

{ 1- و 1+} =A

 

 

ب):

 

حل: گاهی اوقات به جای به کاربردن متغیر ، عبارتی جبری شامل متغیر بکار می رود.

(2x) نماینده اعضای این مجموعه است که بیان می کند x  به اعداد طبیعی تعلق دارد. بنابراین:

{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B

 

جمع عددهای صحیح:

الف) جمع با توجه به بردار:

مثال: جمع متناظر با بردار را بنویسید.

 

حل:

( عدد انتهای بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتدای بردار)

 ( 3+ )  =     ( 5+ )   +   ( 2- )

 

ب) جمع بدون توجه به بردار: برای نوشتن حاصل جمعه به صورت زیر عمل می کنیم:

1. ابتدا تا حد امکان مختصر نویسی می کنیم.

2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع می کنیم و اگر مختلف العلامت باشند، کم می کنیم.

3. علامت جواب بدست آمده را مشخص می کنیم.

مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)

 

یادآوری: چنانچه بخواهیم از قرینه یابی استفاده کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:

11-=(4+7)-=(4-)+(7-)

5-=(10-15)-=(10+)+(15-)

4-=(8-12)-=(12-)+(8+)

 

تفریق عددهای صحیح:

الف) تفریق با استفاده از بردار:

مثال:  تفریق متناظر با بردار را بنویسید.

 

 

حل: (عدد ابتدای بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهای بردار)

                           ( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )

 

ب) تفریق اعداد صحیح بدون توجه به بردار:

 برای تفریق کردن عدد b از عدد a ، می توانیم قرینه b را با a جمع کنیم: یعنی:

a-b = a+(-b)

مثال:

22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)

 


 

ب: مجموعه عددهای گویا

عدد گویا: (rational Number):

گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 که به ترتیب به شکل کسرهای نوشته می شوند ، را یک عدد گویا می نامیم.

 

مجموعه عددهای گویا:

 این مجموعه شامل تمام اعداد گویا است، این مجموعه را با حرف Q که حرف اول کلمه Quotient  است، نمایش می دهند.

نمایش مجموعه عددهای گویا به زبان ریاضی به صورت زیر است:

 

نماد اعشاری اعداد گویا:

برای مشخص کردن نماد اعشاری اعداد گویا کافی است صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنیم. با این تقسیم امکان ایجاد دو نوع عدد اعشاری در خارج قسمت وجود دارد:

1) عدد اعشاری مختوم

2) عدد اعشاری متناوب

 

مثال:

 

1- عدد اعشاری مختوم:

اگر در هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم، عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است. عدد اعشاری مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بیان می شوند و خیلی ساده می توان آن ها را به صورت کسر تبدیل کرد مانند:

 

2- عدد اعشاری متناوب:

اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقی مانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قسمت تکرار شود، این عدد ، عدد اعشاری متناوب نام دارد.

اعداد اعشاری متناوب به صورت نوشته می شوند و بدین معنی است که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند. مانند:

نکته1: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع شوند، عدد اعشاری متناوب ساده است و برای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:

 

مثال:

 

نکته 2: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع نشوند، عدد اعشاری متناوب مرکب است وبرای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:

مثال:

نتیجه:  اگر اعداد اعشاری مختوم یا متناوب باشند، قابل تبدیل به کسر هستند.

اعدادی مانند که در هنگام جذر گرفتن به باقیمانده صفر نمی رسند و جواب بدست آمده نه مختوم می شود و نه متناوب ، قابل تبدیل شدن به کسر نیستند و این بدان معنی است که گویا نمی باشند و غیر از اعداد گویا اعداد دیگری هم وجود دارد.

 

محور اعداد گویا:

عدد را بر روی محور مشخص کنید.

حل: برای این کار کافی است فاصله بین 3- تا 4- را به 5 قسمت مساوی تقسیم کنیم و 3 تا از آن را انتخاب کنیم.

 

تساوی کسرها و کسر علامت دار:

عدد را روی محور نشان داده و با هم مقایسه کنید.

چنانچه مشاهده می کنید دو عدد   برابرند. یعنی بر روی محور این اعداد یک نقطه را مشخص می سازند. می دانیم به صورت زیر بدست آمده است:

(صورت و مخرج در عدد 2 ضرب شده است)       

بنابراین می توان گفت: اگر صورت و مخرج کسر را در عدد غیرصفر n ضرب کنیم، کسر   بدست می آید که با کسر اولیه برابر است.

 

گویا کردن یک کسر:

هر گاه مخرج یک کسر ، رادیکال داشته باشد، چنانچه عملی انجام دهیم تا رادیکال مخرج حذف شود، این عمل را گویا کردن کسر گویند.

1. اگر کسر به صورت باشد. (0 ضرب می کنیم.

 

مثال:

 

2. اگر کسر به صورت باشد ، (0 ضرب می کنیم.

 

مثال:

 

 

 

 

1. قاعده دور در دور و نزدیک در نزدیک در تقسیم به صورت مقابل می باشد.  

2. حاصل ضرب هر عدد در وارون آن عدد مساوی یک می باشد.

مثال: اگر A و وارون یکدیگر باشند، مقدار A چقدر است؟

 

3. هر گاه اعداد گویا باشند، بین آن دو قرار دارد.

مثال: بین دو کسر ، پنج کسر دیگر بنویسید.

با توجه به این نکته می توان نوشت: و به همین ترتیب 5 کسر در بین این دو عدد مشخص می شود.

á بین دو عدد گویا چند عدد وجود دارد؟

 

4. عدد گویای را تحویل ناپذیر گویند هر گاه ب.م.م a و b مساوی یک باشد.

مثال: .  اگر کسر قابل ساده شدن باشد، عدد گویای را تحویل پذیر می نامند ؛ مانند  .

 

5. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) فقط عامل های 2 و 5 باشد ، آن کسر به عدد اعشاری مختوم تبدیل می شود.

مثال:

 

6. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) عامل های 2 و 5 وجود نداشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب ساده تبدیل می شود.

مثال:

 

7. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) ، علاوه بر عامل های 2 و 5 عاملهای اول دیگری نیز مانند 3 ، 7 ، 11 ، ... وجود داشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب مرکب تبدیل می شود.

مثال:

 

 


 

þ تست1 :

مجموعه ی با کدامیک از مجموعه های زیر مساوی است؟

 

د) {0,1}

ج) {1, 1-}

ب) {0}

الف)  {1}

 


 þ تست2 :  

مجموعه ی  کدام است؟

 

د) { }=Ø

ج) {2, 1, 0, 1-, 2-}

ب) {2, 1}

الف) {2, 1, 0, 1-, ...}

حاصل عبارت [8-(4-2)5-1]3-3- برابر است با:

 

د)3-

ج) 6-

ب) 18-

الف) 12-


تصاویر زیباسازی ، كد موسیقی ، قالب وبلاگ ، خدمات وبلاگ نویسان ، تصاویر یاهو ، پیچك دات نت www.pichak.net


 

þ تست4 :  

نصف عدد برابر است با:

 

د)  

ج)

ب)

الف)

 


 

þ تست5 :  

به جای a چه عددی می توانیم قرار دهیم تا دو کسر زیر معکوس یکدیگر باشند؟

 

د) 5-

ج) 4-

ب)1

الف)  2

 


تصاویر زیباسازی ، كد موسیقی ، قالب وبلاگ ، خدمات وبلاگ نویسان ، تصاویر یاهو ، پیچك دات نت www.pichak.net 

þ تست6 :  

حاصل عبارت چقدر است؟

 

د)  8

ج)

ب)  4

الف)

 


 تصاویر زیباسازی ، كد موسیقی ، قالب وبلاگ ، خدمات وبلاگ نویسان ، تصاویر یاهو ، پیچك دات نت www.pichak.net

þ تست7 :  

کدام یک از اعداد زیر گویا است؟

 

د)

ج) 

ب) 

الف)

 


 

þ تست8 :  

کدام یک از کسرهای زیر به صورت عدد اعشاری مختوم قابل نمایش است؟

 

د) 

ج)

ب)

الف)

 


 

þ تست9 :  

 از صورت کسر چند واحد کم کنیم تا کسر حاصل مساوی شود؟

 

د) 

ج)

ب) 5

الف) 7

 


 

þ تست10 :  

به ازای کدام مقدار a کسر مولد عدد اعشاری متناوب است؟

 

د)  3

ج) 2

ب) 7

الف) 5

 


 

þ تست11 :  

با دقت در ارتباط بین اعداد رشته روبرو با اعداد طبیعی بگویید به جای نقطه چین چه عددی باید نوشت؟            .... , 27 , 8 , 1

 

د)  56

ج) 64

ب)  39

الف) 47

 


 

þ تست12 :  

حاصل  برابر است با:

 

 الف)         د)

ج)   

ب)   

تصاویر زیباسازی ، كد موسیقی ، قالب وبلاگ ، خدمات وبلاگ نویسان ، تصاویر یاهو ، پیچك دات نت www.pichak.net

 

 دستگاه های شمار

      برای مشخص كردن تعداد چیزها آن ها را می شماریم. این شمارش باید در دستگاه مشخصی و در چهارچوب خاصی انجام گیرد. به طور معمول شمارش در دستگاه دهدهی انجام می شود، یعنی دستگاهی كه مبنای شمارش ر آن ۱۰ است. در این دستگاه واحد هر مرتبه  ۱۰برابر واحد مرتبه ی قبلی است. مثلاً واحد مرتبه  هزارگان  ۱۰برابر واحد مرتبه ی صدگان است و واحد مرتبه ی صدگان۱۰برابر واحد مرتبه ی دهگان است و واحد مرتبه ی دهگان  ۱۰برابر واحد مرتبه ی یكان می باشد.

اما آیا می توان شمارش را به گونه ای دیگر نیز انجام داد ؟

    به مثال زیر توجه كنید:

مدیر یك كارخانه ی لیوان سازی به انباردار خود دستور داد آمار تمام لیوان های موجود در انبار كارخانه را به او بدهد. در واحد بسته بندی این كارخانه هر ۶ عدد لیوان را در یك بسته پلاستیكی و هر ۶ بسته را در یك كارتن و هر ۶ كارتن را در یك جعبه و بعد هر ۶ جعبه را در یك صندوق چوبی بزرگ قرار می دهند. سپس صندوق ها را بار قطار كرده و برای مشتریان خود به شهرهای دور و نزدیك می فرستند. انباردار برای شمارش تعداد لیوان ها جدولی را كه در اختیار داشت به صورت زیر كامل كرد:

واحد

یكی

بسته

كارتن

جعبه

صندوق

تعداد

۲

۱

۴

۱

۵

او در گزارش خود تعداد لیوان های موجود را ۵۱۴۱۲ نوشت. اما وقتی تعجب مدیر كارخانه را دید ساعتی بعد آن را اصلاح كرد و تعداد لیوان ها را ۶۸۴۸ اعلام كرد .

آیا به نظر شما او دروغ گفته بود ؟

خیر. او هر دو بار راست گفته بود ولی فراموش كرده بود كه روش شمارش لیوان ها را توضیح دهد. در مرتبه ی اول او تعداد لیوان ها را بر اساس چگونگی بسته بندی آن ها حساب كرده بود. در این روش شمارش در مبنای ۶ انجام گرفته بود و او می بایست تعداد لیوان ها را ۶(۵۱۴۱۲)  ثبت می كرد. در مرتبه ی دوم او با توجه به این كه می دانست در هر بسته ۶ لیوان و در هر كارتن۶*۶لیوان و در هر جعبه ۶*۶*۶ لیوان و در هر صندوق ۶*۶*۶*۶ لیوان وجود دارد، جدول خود را به صورت زیر كامل كرد :

واحد

یكی

بسته

۶تایی

كارتن

۳۶ تایی

جعبه

۲۱۶ تایی

صندوق

۱۲۹۶تایی

تعداد

۲

۶

 ۱*

۳۶

    ۴ *

۲۱۶

       ۱ *

۱۲۹۶

        ۵ *

۲

۶

۱۴۴

۲۱۶

۶۴۸۰

و سپس مجموع آن ها را به دست آورد :                  ۶۸۴۸ = ۲+ ۶ + ۱۴۴ + ۲۱۶ + ۶۴۸۰

 

این عدد تعداد لیوان ها را در مبنای ۱۰ نشان می دهد. پس :                ۶۸۴۸ ۶( ۵۱۴۱۲ )

سؤال :  در آمارگیری ماه بعد او تعداد لیوان ها را ۶( ۱۴۰۲۰ )  به دست آورد. به نظر شما او چه عددی را باید در گزارش خود به مدیر كارخانه بنویسد؟

 *       *       *       *       *

اگر بخواهیم عددی را كه در مبنای غیر ۱۰ نوشته شده به مبنای ۱۰ ببریم. رقم های آن را در توان های مختلف مبنا ضرب می كنیم و سپس مجموع آن ها را به دست  می آوریم.

مثال۱ـ نمایش معمولی عدد  ۶( ۱۰۵۳) را بنویسید .

   ۲۴۹= ۳+ (۶*۵) + ( ۳۶*۰) + ( ۲۱۶*۱) =  ۶( ۱۰۵۳)

 

مثال۲ـ نمایش ۵۳۲ را در مبنای ۶ به دست آورید.

                                                             ۶( ۲۲۴۴) = ۵۳۲

      ·    اگر در مثال های بالا توجه كرده باشید خواهید دید اگر عددی را از یك مبنا به مبنای كوچك تری ببریم نمایش ظاهری عدد بزرگ تر خواهد شد و اگر آن را در مبنای بزرگ تری بنویسیم نمایش ظاهری اش كوچك تر می شود .

    ·    در هر مبنا از رقم هایی می توان استفاده كرد كه از خود مبنا كوچك تر باشند. مثلاً در مبنای ۱۰ از رقم های ۰ تا ۹ ودر مبنای ۴ فقط از رقم های ۰ ، ۱ ، ۲ و ۳ استفاده می شود. 

سؤال: اگر شما ۱۴ سال سن داشته باشید، سن شما در هر یك از مبناهای ۲ تا ۹ برابر چند می شود؟ در چه مبنایی سن شما بیش تر است ؟

مثال۳- بزرگ ترین و كوچك ترین اعداد سه رقمی در مبنای ۷ چه اعدادی هستند؟

در مبنای ۷ فقط می توانیم رقم های ۰ تا ۶ را به كار ببریم. دو جواب داریم:

اگر بخواهیم از رقم های تكراری استفاده كنیم،عدد ۷(۶۶۶) بزرگ ترین و عدد۷(۱۰۰)  كوچك ترین عدد سه رقمی در مبنای ۷ هستند. ولی اگر از رقم های تكراری استفاده نكنیم، عدد۷(۶۵۴)  بزرگ ترین و عدد۷(۱۰۲) كوچك ترین عدد سه رقمی در مبنای ۷ هستند.

 

        ·          جمع

برای جمع چند عدد كه مبنای مساوی داشته باشند مانند اعداد در دستگاه دهدهی عمل می كنیم. اعداد را از سمت راست زیر هم می نویسیم. ابتدا اعداد جایگاه اول را با هم جمع می كنیم. اگر حاصل از مبنا كوچك تر باشد، آن را می نویسیم و اگر برابر مبنا یا بزرگ تر از آن باشد، آن قدر مبنا و یا مضارب مبنا را از آن كم می كنیم تا باقی مانده كوچك تر از مبنا شود. آن گاه باقی مانده را نوشته و به ازای هر مبنایی كه از حاصل جمع كم كردیم در ستون سمت چپ یك واحد اضافه می كنیم.

مثال۴- حاصل ۳(۲۱۲) + ۳(۲۱۰۱)  را به دست آورید .

                                                                              ۱   ۱ 

۳(۲۱۰۱)

۳(۰۲۱۲) +

۳(۱۰۰۲۰)

        ·          تفریق

در تفریق دو عدد كه مبنای مساوی دارند باید توجه داشت اگر رقم مفروق منه (رقم بالایی) از رقم مفروق كم تر باشد، از رقم سمت چپ آن یك واحد كم می كنیم و به تعداد مبنا به آن رقم مفروق منه اضافه می كنیم.

مثال ۵ـ حاصل ۵(۱۳۴) -  ۵(۳۲۴)  را به دست آورید .

      ۷ ۲

۵(۳۲۴)

۵(۱۳۴) - 

۵( ۱۴۰)

مثال۶ـ نمایش عدد۴(۱۲۳)  را در مبنای۵ بنویسید .

                                                                   ۲۷ = ۳ + (۴*۲) + (۱۶*۱) =۴(۱۲۳)

                                                                                                   ۵( ۱۰۲ ) = ۲۷

                                                                                           ۵( ۱۰۲ )  = ۴(۱۲۳)