سلام !!!!!!!Hello خوبین ؟؟؟؟؟؟Happy Dance

امروز از ک.م.م و ب.م.م اپیدم

{54 \over 81}={2 \cdot 27 \over 3 \cdot 27}={2 \over 3} \!

حتما یه سر برین ادامه مطلب

 

در ریاضیات بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک یا ب.م.مِ دو عدد صحیح، به بزرگ‌ترین عدد طبیعی گفته می‌شود که آن دو عدد را می‌شمارد.

مقدمه

بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد طبیعی a \! و b \! بصورت (a, b) \! یا gcd(a, b) \! نوشته می‌شود.

مثال: gcd(16, 24) = 8 \! و gcd(8, 9) = 1 \!

هرگاه ب.م.م دو عدد برابر 1 باشد، آن دو عدد را نسبت به‌هم اول می‌گوئیم.

مثال: دو عدد 14 و 5 نسبت به هم اول هستند، زیرا، داریم gcd(5, 14) = 1 \!

ب.م.م برای ساده تر کردن کسرها نیز مفید است. برای مثال:

{54 \over 81}={2 \cdot 27 \over 3 \cdot 27}={2 \over 3} \!

روش تجزیه به عوامل اول

اصولا می‌توان ب.م.م دو عدد را با تجزیه عددها به فاکتورهای اولشان پیدا کرد. برای مثال:

2.32=18 و 3.7.22=84

مشاهده می کنید که فاکتورهای مشترک این دو عدد 2 و 3 هستند پس: gcd(84,18) = 2.3 = 6

محاسبه ب.م.م به این روش فقط برای اعداد کوچک عملی است و برای اعداد بزرگتر زمان بسیاری نیاز دارد.

[ویرایش] روش اقلیدسی

یکی از بهترین روش‌ها برای محاسبهٔ ب.م.م الگوریتم اقلیدس است که از الگوریتم تقسیم استفاده می‌کند.

مثال: یافتن (84,18)gcd

ابتدا 84 را به 18 تقسیم می کنیم؛ خارج قسمت تقسیم 4 و باقیمانده 12 بدست می‌آید.

سپس 18 را بر 12 تقسیم می کنیم؛ خارج قسمت 1 و باقیمانده 6 بدست می‌آید؛ مجددا 12 را بر 6 تقسیم می‌کنیم؛ خارج قسمت 2 و باقیمانده 0 می‌شود. پس عدد 6 ب.م.م دو عدد 84 و 18 است.

در روش اقلیدسی اصطلاحا خارج قسمت را بطور متوالی می شکنیم تا به باقیمانده 0 برسیم.

خاصیت‌های ب.م.م

  • هر مقسوم علیه دو عدد a و b، مقسوم علیه (gcd(a,b نیز هست.
  • ب.م.م دو عدد a و 0 برابر |a| است. |gcd(a,0)=|a.
  • اگر a مقسوم علیه b.c باشد و داشته باشیم gcd(a, b) = d آنگاه a/d مقسوم علیه c است.
  • اگر m یک عدد نامنفی باشد آنگاه داریم: (gcd(m·a, m·b) = m·gcd(a, b.
  • اگر m یک عدد صحیح باشد آنگاه داریم: (gcd(a + m·b, b) = gcd(a, b.
  • اگر m مقسوم علیه مشترک غیر صفر a و b باشد آنگاه داریم: gcd(a/m, b/m) = gcd(a, b)/m
  • ب.م.م دارای خاصیت جابجایی است؛ (gcd(a, b) = gcd(b, a
  • ب.م.م دارای خاصیت شرکت‌پذیری است؛ (gcd(a, gcd(b, c)) = gcd(gcd(a, b), c
  • ب.م.م دو عدد a و b وقتی که هیچ کدام 0 نباشند، تعریف می‌شود: کوچکترین عدد مثبت d بشکلی که بتوان به فرم d = a·p + b·q نوشت که در آن p و q اعداد صحیح هستند.

فرض کنید a1,a2,…,an اعدادی صحیح و نا صفر باشند. عدد صحیح K را مضرب مشترکی از a1,a2,…,an می نامیم، به شرطی که ai | K ، 1 ≤ i ≤ n .

مثلا اگر t عددی صحیح باشد ta1a2…an مضرب مشترکی از a1,a2,…,an است؛ بنابراین، تعداد مضرب‌های مشترک a1,a2,…,an نامتناهی است.

تعریف: فرض کنید a1,a2,…,an اعدادی صحیح و نا صفر باشند. در میان مضرب‌های مشترک مثبت a1,a2,…,an کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک a1,a2,…,an می نامیم و آن را با ‍[a1,a2,…,an] نشان نمی دهیم.

قضیه: اگر a1,a2,…,an اعدادی صحیح و نا صفر باشند، هر مضرب مشترک آنها بر [a1,a2,…,an] بخش پذیر است.

برهان: اگر K مضرب مشترکی از a1,a2,…,an باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند q و r وجود دارند که

(1) [K = [a1,a2,…,an] q + r , 0 ≤ r < [ a1,a2,…,an

از طرف دیگر ai | K , ai | [ a1,a2,…,an], 1 ≤ i ≤ n

بنابراین ai | r و درج فرمول در اینجا n ≥ i ≥ 1 . یعنی r مضربی مشترک از a1,a2,…,an است. در نتیجه اگر r > 0 ، آنگاه [r ≥ [a1,a2,…,an، که با نابرابری سمت راست (1) تناقض دارد بنابراین r = 0 و a1,a2,…,an] | k]